В прошлой статье мы рассмотрели пинхол-камеру, а также отметили её существенные недостатки. Главным образом они связаны с малым отверстием, через которое свет пробивается слабо и с отклонениями от прямого луча. Для решения этой проблемы нужно расширять дырку, но без вспомогательных средств здесь не обойтись.
К счастью, человечество изобрело способ расширить отверстие, сохраняющий свойства камеры-обскуры. И ключевым компонентом здесь является сферическая линза.
В этой статье нас интересуют только собирающие линзы. Если Вы замечаете, что некоторые утверждения не верны для рассеивающей, то, возможно, так и есть, но их не учитываем. Для простоты рассмотрим симметричные двояковыпуклые линзы, так как с ними проще описывать основные точки.
Также отметим, что физический размер линзы не имеет значения. Модель называется “тонкой”, потому что она не учитывает процессы, происходящие внутри стекла и на границе сред. В следующей статье мы расскажем, какие эффекты это даёт. Сразу подчеркнём, что основные свойства у настоящих объективов будут теми же, с достаточной точностью для многих применений.
Модель тонкой линзы #
Забудем на время про объективы и вспомним модель тонкой линзы из школьного курса физики. Имеем сферическую линзу. Она представляет из себя объём из прозрачного материала, обладающий особыми свойствами, о которых и расскажем в этом параграфе.
Важнейшими геометрическими объектами линзы являются одна прямая, две точки на ней и одна плоскость.
- Оптическая ось — прямая, проходящая через вершины выпуклых частей.
- Оптический центр \(O\) — точка на оптической оси, равноудалённая от вершин выпуклых частей. То есть буквально центр линзы.
- Точка фокуса \(F\) — точка, в которой сходятся все лучи, выпущенные из противоположной стороны линзы строго параллельно оптической оси. Одним из базовых свойств рассматриваемой модели является существование такой точки. У симметричной двояковыпуклой линзы есть две таких точки — по одной с каждой стороны, на одинаковом удалении от \(O\).
- Фокальная плоскость — плоскость, проходящая через \(F\) и ортогональная оптической оси.
Также, раз мы пренебрегаем толщиной линзы, то на схемах удобно изображать вместо неё плоскость, проходящую через раздел двух половинок.
Как показано на схеме выше, лучи, проходящие через линзу, преломляются. Исключение составляют только те, что проходят через оптический центр, они продолжают двигаться прямо.
Уравнение тонкой линзы #
У рассматриваемой модели есть интересное свойство. Испустим лучи из произвольной точки \(P\) в пространстве. После прохождения через линзу они все пересекаются в одной точке \(P’\) по обратную её сторону. Назовём её образом точки \(P\).
Это справедливо для любой точки, находящейся дальше фокальной плоскости или на ней. Разумеется, образ за линзой не случаен и поддаётся некоторым закономерностям. Отложим плоскость \(p\), проходящую через \(P\) и ортогональную оптической оси \(OF\). В математической нотации можем записать \(p: P \in p, \space p \perp OF\). Возьмём на ней произвольную точку \(Q \in p\) и выпустим из неё лучи в линзу. Все лучи пересекаются в одной точке \(Q’\), и она лежит на плоскости \(p’: P’ \in p’, \space p’ \perp OF\).
Другими словами, образы всех точек на такой плоскости лежат на некоей плоскости по обратную сторону линзы. Но как они расположены в пространстве, ведь на \(p’\) они могли бы располагаться как угодно? Проходя через оптический центр, лучи не преломляются, следовательно мы можем найти образ как пересечение прямой \(OQ\) и плоскости \(p’\). Отбросив лишнее, мы видим, что получили ровно ту же геометрию, что в пинхол-камере! Сцена на \(p\) отобразится на \(p’\) повёрнутой на 180° вокруг оптической оси и с изменением размера.
Как, зная \(p\), найти положение плоскости образов \(p’\)? Введём несколько величин.
- Длина фокуса \(f_\ell = |OF|\). Как и обещалось в статье про пинхол, для путаницы вводим совершенно другой термин с тем же названием. Обратите внимание, что длина фокуса здесь — свойство исключительно линзы.
- Расстояние между объектом и линзой \(f_d = \Delta(p, O)\).
- Расстояние между образом и линзой \(L = \Delta(p’, O)\).
Выбор обозначений будет понятен позже. Может быть. Эти величины связаны уравнением тонкой линзы: $$ \frac{1}{f_d} + \frac{1}{L} = \frac{1}{f_\ell}. $$
Оно верно даже при \(f_d = f_\ell\) или \(L = f_\ell\), если принять \(1 / \infty = 0\). Это особый случай. Например если \(L = f_\ell\), то из уравнения получим \(f_d = \infty\), то есть объект сцены находится в бесконечности. При таком положении все лучи, испускаемые из плоскости объекта, параллельны оптической оси и после преломления в линзе сходятся в \(F\), что является определением точки фокуса. Следовательно, уравнение остаётся корректным. Аналогично и для \(f_d = f_\ell\).
Как построить образ точки #
Допустим, у нас имеется тонкая линза и точка \(P\), расположенная дальше её точки фокуса. Как нарисовать её образ \(P’\) или пучок лучей, выходящих из неё через линзу?
При отрисовке двумерного профиля сбоку это просто.
- Сначала нужно нарисовать \(P\), саму линзу, её оптическую ось, оптический центр \(O\) и точку фокуса \(F\) со стороны, противоположной \(P\).
- Далее рисуем луч \(PO\). Проходя через оптический центр, он не преломляется, значит рисуем его просто по прямой.
- Затем выпускаем луч, параллельный оптической оси, и доводим до линзы. Как он преломится? Из определения точки фокуса он пройдёт через точку \(F\). рисуем соответствующий луч.
- Все лучи, прошедшие через линзу, преломляются так, что пересекаются в одной и той же точке, это и есть искомый образ. Значит пересечение только что выпущенных двух лучей и есть \(P’\).
- Если нужно нарисовать ещё лучи, то выпускаем их из \(P\), доводим до линзы и преломляем так, чтобы пересечь \(P’\).
Объектив с тонкой линзой #
Только что мы узнали, что если смотреть на плоский объект через линзу ортогонально её оптической оси, то мы получим чёткое изображение этого объекта на некоторой плоскости перед линзой, и её положение можно определить по формуле. При этом изображение формируется ровно так же, как у пинхол-камеры. Зато решается главный её недостаток: в каждую точку образа приходит не один луч, а большой скоп лучей из точки объекта, распределённый по всей линзе и затем собранный ей. Осталось лишь понять, как это работает в трёхмерном мире, ведь мы редко фотографируем абсолютно плоский предмет ровно под 90° с возможностью идеально выставить расстояние до него.
Сначала соберём объектив и камеру. Допустим, мы собираемся снимать плоскость на расстоянии \(f_d\) от линзы. В контексте фотоаппаратов эту величину называют фокусным расстоянием. Почувствуйте разницу с длиной фокуса, у них совершенно разный физический смысл! Пусть у нас имеется тонкая линза с длиной фокуса \(f_\ell\) и плоский светочувствительный материал (плёнка или сенсор). Берём непрозрачную абсолютно чёрную (чтобы не учитывать отражения лучей внутри объектива) коробку длины \(L = [1/f_\ell - 1/f_d]^{-1}\). На один конец крепим материал, в другом делаем большое отверстие и вставляем в него линзу. Для простоты делаем это так, чтобы оптическая ось проходила через центр материала.
Величину \(L\) продолжим называть нелепой “длиной фокуса пинхола”, физический смысл ровно тот же. Большинство фотографов никак её не называют и, кажется, не представляют её существования. Что не мешает им жить нормальной здоровой жизнью. Также её можно называть задним фокусным расстоянием, а \(f_d\) в этом контексте можно называть передним фокусным расстоянием. То есть линза разделяет мир на “передний”, на который мы смотрим через камеру, и “задний”, в котором расположен материал.
Для такой модели остаётся справедливым всё, что было сказано про \(L\) у пинхол-камеры. Угловое поле означает ровно то же самое, оно так же зависит от \(L\) и размера материала и т.д.
Дефокус #
Что будет, если снимаемый объект находится не на фокусном расстоянии? Возьмём плоскость, ортогональную оптической оси, на расстоянии \(f_d + \delta_A\), \(\delta_A > 0\) от оптического центра. Выберем произвольную точку \(A\) на ней и выпустим из неё лучи во все стороны через линзу. Согласно уравнению тонкой линзы, лучи соберутся в образ \(A’\) на расстоянии от \(O\) меньшем, чем \(L\). Долетят же они до материала не в одну точку, а в пятно. Теперь возьмём плоскость на расстоянии \(f_d - \delta_B > f_\ell\), \(\delta_B > 0\) и точку \(B\) на ней, выпустим лучи во все стороны через линзу. Из уравнения тонкой линзы они должны собраться в образ \(B’\) дальше, чем стоит материал, поэтому также попадут на него пятном.
Более того, сферическая линза устроена так, что пятна имеют градиент. Центр пятна находится в пересечении луча, проходящего через оптический центр, там интенсивность света будет наибольшей. По краям пятна — наименьшей. Конечно если мы равномерно распределили свет, испускаемый из точек сцены, по линзе.
Что это даёт? Точки, находящиеся вне плоскости фокусировки, “размазываются” по целой области на фотоматериале. Выглядит это как размытие частей сцены, находящихся вне фокуса, и называется дефокусом.
Чем объект дальше от плоскости фокусировки, тем больше размытие. Также оно зависит от размера линзы: чем больше линза, тем шире и интенсивнее пятно дефокуса на материале. И, наконец, размытие зависит от расстояний относительно \(f_\ell\), но это мы объясним в статье про фокусировку.
Насколько страшен дефокус? #
В этот момент может показаться, что линза даёт нам возможность наблюдать только плоские объекты на фиксированном расстоянии, всё остальное будет полностью размазано. На самом деле всё не так плохо.
Во-первых, если снимаемая сцена достаточно далека, то размер пятна дефокуса оказывается настолько незначительным, что не превышает одного пикселя на сенсоре. Такая ситуация чаще всего встречается в ландшафтной фотографии (малая \(f_\ell\), дальние расстояния, чётко видны километры) и астрофотографии глубокого неба (при любом телескопе нет разницы в фокусировке на 100000 световых лет или всего на 1000 световых лет, можно считать всё удалённым в бесконечность). В портретной съёмке (расстояние до объекта в несколько метров) можно столкнуться с умеренным размытием. В макрофотографии (объект размещается “в упор”) дефокус действительно является очень большой сложностью.
Во-вторых, у фотообъективов есть регулируемая диафрагма, которая позволяет варьировать свойства объектива между большой линзой и пинхолом.
В-третьих, для многих жанров “правильное” размытие фона вокруг объекта и вовсе является желанным. Например в портретной съёмке самый типовой сценарий — человек в фокусе, фон размыт.
Путаница с длиной фокуса #
У нас есть “длина фокуса пинхола” \(L\). Это характеристика системы из отверстия и фоточувствительного материала, буквально расстояние между ними. Также есть “длина фокуса” \(f_\ell\). Это самостоятельная характеристика линзы. Ни материала, ни отверстия для неё не нужно.
Если эти две величины пришли к нам из разных систем, есть ли между ними связь? Почему они названы одинаково? Сейчас увидим, что связь есть. Однако зачем было давать такое название для \(L\) — сказать сложно.
Всё дело в том, что когда мы фокусируемся на достаточно далёкий объект, мы размещаем материал очень близко к точке заднего фокуса. Настолько близко, что с какого-то момента увеличение фокусного расстояния на километры требует уменьшения \(L\) на микроны.
В качестве примера возьмём популярный в портретном жанре объектив с \(f_\ell = 50 \text{ мм}\). Допустим, мы по очереди фокусируемся на объекты, находящиеся в 5 м, 10 м, 15 м, 20 м, 50 м, 100 м. Как будет меняться “длина фокуса пинхола”? Рассчитаем таблицу по уравнению тонкой линзы, то есть по формуле \(L = [1 / f_\ell - 1 / f_d]^{-1}\).
| \(f_d\), мм | \(L\), мм |
|---|---|
| 5000 | 50.50505051 |
| 10000 | 50.25125628 |
| 15000 | 50.16722408 |
| 20000 | 50.12531328 |
| 50000 | 50.05005005 |
| 100000 | 50.02501251 |
Также обратите внимание, что перефокусировка со 100 м на куда угодно дальше, например на 100000 световых лет, потребует не более 25 мкм сдвига материала, дальше мы упираемся в \(f_\ell = 50 \text{ мм}\). Однако всё это работает только при достаточно далёкой фокусировке. Если мы занимаемся макро-съёмкой или смотрим в микроскоп, размещая объект близко к объективу, то всё становится сложнее. Для примера рассчитаем \(L\) с малыми \(f_d\) для того же 50 мм объектива.
| \(f_d\), мм | \(L\), мм |
|---|---|
| 1000 | 52.63157895 |
| 500 | 55.55555556 |
| 250 | 62.5 |
| 125 | 83.33333333 |
| 60 | 300.0 |
Итак, в большинстве жанров \(L\) и \(f_\ell\) очень близки, поэтому многие их вообще не различают. Если же Вы работаете в условиях, когда эти величины сильно различаются, то помните следующее.
- Угловое поле, а значит и увеличение, определяется только \(L\). Мы привыкли думать, что увеличительное стекло увеличивает, это не совсем так, но и не совсем неправда. Собирающая линза лишь собирает свет. Объект какого размера мы через неё увидим — зависит от того, как мы смотрим.
- На фотообъективах всегда указывается \(f_\ell\) в качестве длины фокуса. Вместо \(L\) указывают диапазон фокусных расстояний \(f_d\), для которых объектив способен подвинуть выходной зрачок в нужную точку. Потому что фотографу важно, что происходит в пространстве сцены, а не внутри объектива.
Итоги #
- Чтобы собирать больше света, можно расширить отверстие пинхол-камеры и вставить в него собирающую линзу.
- При этом появляются эффекты дефокуса, о которых подробнее поговорим в статье о фокусировке.
- В большинстве жанров фотографии угловое поле определяется длиной фокуса линзы, хотя в некоторых случаях это не так.
Полезные материалы #
- Довольно исчерпывающая статья на Хабре (никак не связана с данным сайтом, серия статей написана другим человеком): https://habr.com/en/articles/757078/
- Интерактивная среда для моделирования простой геометрической оптики прямо в браузере: https://phydemo.app/ray-optics/simulator/?ru
- Интерактивное упрощённое моделирование тонкой линзы: https://phet.colorado.edu/sims/html/geometric-optics/latest/geometric-optics_en.html